お子様の名義であっても、これまでの実質的な管理者が親であった場合、税務上は親の資産として取り扱われることがあります。
その場合、通帳ごと渡してしまうと、親子間であっても贈与とみなされ贈与税が掛かってしまいます。
税務署も全て把握できるわけではありませんが、今後お子様が家を購入するなどで自己資金として使用してしまった場合、資金の出処を確認される恐れがあります。
その場合、後から贈与税を払わなければならない可能性もあるので注意してください。
贈与の基礎控除として誰でも毎年110万円の枠を持っていますので、その金額内でお子様に資金を送る、もしくはお子様が自宅を購入されるタイミングで贈与すれば、いくつか条件がありますが住宅資金贈与の非課税枠を使うことも可能です。
どちらにしても、お金の受け渡し等は税務上贈与にあたり、原則確定申告も必要ですので、必ず税務署などに事前に確認をすることをお勧めします。